Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Программа курса

Теория вероятностей (1 семестр)

  1. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятностей. Теорема о непрерывности вероятностной меры.
  2. Условные вероятности. Независимость случайных событий. Формулы полной вероятности и Байеса.
  3. Классическая схема. Комбинаторика: типы выборок, их количество, гипергеометрическое распределение.
  4. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число успехов. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.
  5. Геометрическая схема. Парадокс Бертрана.
  6. Случайные величины, распределение случайной величины, функция распределения. Свойства функций распределения. Взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и функциями распределения. Типы распределений. Плотности распределения.
  7. Случайные векторы, их распределения, функции распределения, плотности распределения.
  8. Независимость классов событий и случайных величин. Критерий независимости, его следствия.
  9. Функции от случайных величин.
  10. Интеграл Лебега. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции: определения, вычисление, свойства.
  11. Неравенства Коши-Буняковского-Шварца, Иенсена, Маркова и Чебышёва.
  12. Условные математические ожидания: определение, свойства.
  13. Задача о разорении игрока.

Правила проведения экзамена | Экзаменационные вопросы

Теория вероятностей (2 семестр)

  1. Сходимость последовательностей случайных величин и распределений. Сходимость по вероятности, сходимость почти наверное: определение, свойства. Слабая сходимость распределений и сходимость по распределению. Соотношения между типами сходимости. Теорема о слабой сходимости.
  2. Характеристические функции: определение, вычисление и свойства. Теорема непрерывности для характеристических функций.
  3. Предельные теоремы. Законы больших чисел. Сильные законы больших чисел Колмогорова. Центральная предельная теорема для последовательности независимых одинаково распределенных величин. Теоремы Линдеберга-Феллера и Ляпунова.
  4. Цепи Маркова. Классификация состояний. Критерий возвратности состояний. Теорема солидарности. Эргодические теоремы.
  5. Случайные блуждания по решетке в Rn.

Математическая статистика (2 семестр)

  1. Основные задачи математической статистики. Основные понятия выборочного метода. Определение неизвестной функции распределения и плотности распределения. Примеры.
  2. Несмещенные, асимптотически несмещенные, состоятельные и эффективные оценки. Оценки математического ожидания и дисперсии по случайной выборке. Единственность эффективной оценки. Регулярные модели и неравенство Рао-Крамера.
  3. Два способа получения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Примеры.
  4. Интервальные оценки. Распределения хи-квадрат и Стьюдента. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии в случае нормальной выборки.
  5. Провека гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критические множества и S-критерии. Рандомизированные критерии. Ошибки I и II рода. Нахождение оптимальных критериев, теорема Неймана-Пирсона. Примеры.
  6. Оценка ковариации и коэффициента корреляции по выборке. Расчет коэффициентов линейной регрессионной модели.

Правила проведения экзамена | Экзаменационные вопросы

Hosted by uCoz