Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Оценка размера популяции

Постановка 1

Известно, что в озере N рыб. Отлавливают m рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. Через некоторое время повторно отлавливают n рыб. Чему равно наиболее вероятное число вновь отловленных помеченных рыб? Считается, что после поимки рыба вновь отпускается в озеро и может быть поймана с той же вероятностью.

Назовем экспериментом отлов одной рыбы. Поскольку после каждой поимки рыба отпускается обратно в озеро, можем считать, что вероятность поймать помеченную рыбу не изменяется. Успехом будем считать отлов помеченной рыбы, тогда вероятность успеха в i-м эксперименте равна p = m / N.

К данной задаче применима схема Бернулли с n независимыми экспериментами и k успехами. Известно, что наиболее вероятное число успехов k в схеме Бернулли есть:

  • два числа np + p и np - q, если np + pZ,
  • одно число [np + p], иначе.

Входные данные

Всего рыб в озере N:

Число помеченных рыб m:

Число повторно отловленных рыб n:

Результат


Постановка 2

Для того, чтобы узнать, сколько в озере рыб, отлавливают m рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. Найдите все возможные варианты численности рыб в озере, для каждого из которых будет наибольшей вероятность встретить среди вновь пойманных n рыб k помеченных? Считается, что после поимки рыба вновь отпускается в озеро.

Такая постановка задачи полезна при практической оценке размера популяции.

В обозначениях постановки 1 равенство [np + p] = k равносильно неравенству knp + p < k + 1, откуда
(n + 1)m / (k + 1) < N < (n + 1)m / k,

Входные данные

Число помеченных рыб m:

Число повторно отловленных рыб n:

Число помеченных среди повторно отловленных рыб k:

Результат

Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz