Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Диффузионная модель П. и Т. Эренфестов

Описание

При изучении различных задач в статистической механике П. и Т. Эренфесты описали мысленный эксперимент, при котором N молекул распределены по двум камерам A и B. В целочисленные моменты времени случайным образом выбирается одна частица и перемещается из своей камеры в другую камеру.

Введем состояния

   Ej = {в сосуде A находится j молекул}, j ∈ {0, 1, ..., N}.

Тогда процесс, описывающий динамику движения молекул, можно описать с помощью цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода P размером (N + 1) × (N + 1) вида

0
1
0
0
0
...
0
1/N
0
(N-1)/N
0
0
...
0
0
2/N
0
(N-2)/N
0
...
0
0
0
3/N
0
(N-3)/N
...
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
...
1
0

При преобладающем количестве частиц в одной из камер, вероятность выбора частицы именно из этой камеры больше, чем из другой. В результате система старается перейти в "состояние динамического равновесия", когда количество частиц в каждой из камер будет примерно одинаковым.

Стационарным распределением для такой цепи Маркова является биномиальное распределение Bin(N, 1/2).

Эксперимент

Общее количество частиц в системе:

Количество переходов между камерами:

Длительность перехода частицы:

Начальное положение:


Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz