Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Свёртка плотностей распределения и её нормальная аппроксимация

Сходимость к нормальному закону

Пусть ξ1, ξ2, ... — независимые и одинаково распределённые случайные величины, имеющие математическое ожидание a и конечную дисперсию σ2 > 0. Рассмотрим суммы Sn = ξ1 + ... + ξn. Известно, что в этом случае применима центральная предельная теорема и нормированные суммы (Sn - ESn) / (σn1/2) сходятся по распределению к нормальному закону N(0, 1).

Если исходные случайные величины (ξn) имеют ограниченную плотность p(x), то справедлив более сильный результат, называемый локальной центральной предельной теоремой, который утверждает, что плотности сумм Sn близки к плотности нормального распределения N(nanσ2).

Свёртка плотностей распределений

Свёрткой функций f(x) и g(x) называется функция h(x) =  -∞ +∞ f(t)g(x - tdt, обозначаемая f(x) ∗ g(x).

Если две независимые случайные величины ξ и η имеют плотности распределения pξ(x) и pη(x) соответственно, то плотность распределения суммы ξ + η равна pξ + η(x) =  pξ(x) ∗ pη(x). Таким образом, с помощью свёртки можно записать плотности величин Sn:
pS1(x) =  p(x),
pS2(x) =  pS1(x) ∗ p(x),
...
pSn(x) =  pSn - 1(x) ∗  p(x),
...

Иллюстрация локальной центральной предельной теоремы

Рассмотрим случайные величины (ξn), имеющие равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Тогда плотность p(x) равна 1 при x∈[0, 1] и 0 при x∉[0, 1], математическое ожидание a = 1 / 2 и дисперсия σ = 1 / 12.

В этом случае интегралы в формуле свёртки можно брать только по отрезку [0, 1], и их можно последовательно вычислить при n = 1, 2, 3, ... Плотности pSn(x) будут отличаться от нуля только лишь на отрезке [0, n].

Ниже приведена иллюстрация довольно быстрого сближения последовательности плотностей pSn(x) и плотностей нормального закона N(n / 2, n / 12).

Нормальная аппроксимация  Число слагаемых:     Автомасштаб: 

График свёртки распределений   График ошибки аппроксимации
 

Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz