Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Лестница Кантора как пример сингулярной функции распределения

Точка x называется точкой роста функции распределения F(x), если для любого ε > 0 выполнено неравенство F(x + ε) - F(x - ε) > 0.

Сингулярные распределения имеют такие случайные величины, принимающие континуум значений, для которых функция распределения F(x) непрерывна, но точки роста F(x) образуют множество нулевой меры Лебега.

Таким образом, функция F(x) непрерывна, производная F'(x) = 0 почти всюду, но при этом диапазон изменения функции F есть отрезок [0, 1].

Примером сингулярной функции распределения может служить известная лестница Кантора, все изменение которой сосредоточено на отрезке [0, 1], F(x) = 0 при x < 0 и F(x) = 1 при x > 1.

Строится лестница Кантора следующим образом. Интервал (0, 1) разбивается на три равные части: (0, 1/3), (1/3, 2/3), (2/3, 1). На внутреннем сегменте F(x) = 1/2. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на внутренних сегментах F(x) полагается равной 1/4 и 3/4. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах F(x) определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями F(x). В точках, не принадлежащих внутренним сегментам, F(x) доопределяется по непрерывности.

Поскольку суммарная длина внутренних сегментов, на которых F(x) постоянна, равна 1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1, то функция F(x) растет на множестве меры нуль, но без скачков. Таким образом, мера Лебега и распределение, определяемое функцией F(x), взаимно сингулярны.

Процесс построения лестницы Кантора проиллюстрирован ниже. Более подробно о свойствах лестницы Кантора можно узнать здесь.

Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz