Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Биномиальное распределение и его аппроксимация

Схема Бернулли

Пусть производится n независимых экспериментов, каждый из которых может закончиться одним из двух исходов, условно называемых "успехом" и "неудачей". Предположим, что вероятность успеха постоянна и равна p, а вероятность неудачи равна q = 1 - p.

Вероятность того, что из n экспериментов ровно k окажутся успешными, вычисляется по формуле Бернулли и равна
Pn(k) = n!/(k!·(n - k)!)·pkqn-k.

Биномиальное распределение

Числа Pn(0), Pn(1), ... , Pn(n) в сумме дают 1 и называются биномиальным распределением, т.к. встречаются в биномиальном разложении
1 = (p + q)n = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(n).

Вычисление вероятностейPn(k) при больших значениях n, скажем, при n более 30, может оказаться затруднительным. Поэтому для их приближённого вычисления можно использовать нормальную или пуассоновскую аппроксимацию.

Нормальная аппроксимация

Нормальная аппроксимация имеет вид:
Pn(k) = ф(x)/(npq)1/2,
где x = (k - np)/(npq)1/2, ф(x) = exp(-x2/2)/(2π)1/2.

Пуассоновская аппроксимация

Пуассоновская аппроксимация имеет вид:
Pn(k) = (λk/k!)·exp(-λ),
где λ = np.

Выбор аппроксимации

На практике пуассоноская аппроксимация хорошо работает, когда вероятность успеха p мала, а λ = np принимает значение не более 10. В остальных случаях лучше использовать нормальную аппроксимацию.

Моделирование

Вы можете построить биномиальное распределение при различных значениях параметров n и p, а также увидеть качество аппроксимации с помощью нормального и пуассоновского распределений. Допускаются значения n в диапазоне [1; 100] и значения p в диапазоне [0; 1].

Вероятности биномиального распределения изображаются прямоугольными столбиками с единичными основаниями и высотами, равными соответствующим вероятностям. Аналогично изображается пуассоновская аппроксимация.

Нормальное распределение показано с помощью кривой плотности нормального распределения, приведённой к соответствующему масштабу. Приближённое значение вероятности Pn(k) есть ордината точки на графике плотности в точке с абсциссой k.

Вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет в пределах от k1 до k2 (k1 < k2), равна суммарной площади прямоугольников биномиального распределения. Нормальная аппроксимация заменяет эту площадь на площадь под графиком плотности нормального распределения на отрезке [k1 - 0.5, k2 + 0.5].

n = , p =
Аппроксимация: нормальная пуассоновская

Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz