Игральные кубики

Теория вероятностей и математическая статистика


Полиномы Бернштейна и закон больших чисел для схемы Бернулли

Пусть f : [0,1] → R -- непрерывная функция. Рассмотрим полиномы Бернштейна:

Bn(x) =  0≤kn f(k/n) Cnkxk(1 - x)n-k.

Ясно, что полином Бернштейна Bn(x) представляет собой многочлен степени n от переменной x.

Полиномам Бернштейна можно придать вероятностный смысл.

Пусть (ξn) -- последовательность независимых бернуллиевских случайных величин: каждая из них равна 1 с вероятностью x и 0 с вероятностью 1 - x. Обозначим через Sn сумму ξ1 + ... + ξn, которая имеет биномиальное распределение Bin(n, x). По формуле для математического ожидания функции от случайной величины при каждом фиксированном x имеем: Ef(Sn/n) = Bn(x).

В силу закона больших чисел для схемы Бернулли при n → ∞ имеет место сходимость Sn/n к вероятности успеха x по вероятности. Из свойств сходимости по вероятности следует, что в этом случае математические ожидания Ef(Sn/n) сходятся к Ef(x) = f(x). Это означает, что при каждом x из отрезка [0,1] значения полиномов Бернштейна Bn(x) стремятся к f(x) при n → ∞.

Вы можете увидеть, как полиномы Бернштейна различных степеней аппроксимируют некоторые функции, заданные на отрезке [0,1]. График функции изображён сплошной линией, а график полинома Бернштейна -- пунктирной.

Функция: Степень полинома:

Графика реализована с помощью JavaScript библиотеки Raphaël.

Hosted by uCoz